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\title{Programming Assignment II}

\author{韩骐骏 \\ (数学科学学院)信息与计算科学3200103585}

\begin{document}

\maketitle

\section{Problem 2.9.2 B}
\subsection{Solution}
For $n=2, 4, 6, 8$, we can use the Newton Interpolation to get that $$p_{\mbox{\scriptsize 1}}(x)=1-0.0384615x^2$$ $$p_{\mbox{\scriptsize 2}}(x)=1-0.171088x^2+0.00530504x^4$$ $$p_{\mbox{\scriptsize 3}}(x)=1+2.77556*10^{-17}x-0.351364x^2+0.0335319x^4+8.67362*10^{-19}x^5-0.000840633x^6$$ $$p_{\mbox{\scriptsize 4}}(x)=1+2.77556*10^{-17}x-0.528121x^2-6.93889*10^{-17}x^3+0.0981875x^4-0.00658016x^6+0.000137445x^8$$ Thus we can plot the polynomials.\\
\begin{figure}[htp]
    \centering
    \includegraphics[width=4cm]{picB}
    \caption{An image of a Assign}
    \label{fig:galaxy}
\end{figure}
从生成的曲线我们可以看出在采用均匀节点来采样的时候，定义域边界上拟合多项式都和$y=\frac{1}{1+x^2}$具有极大的区别，即边缘误差极大，这正好符合龙格现象.\\

\section{Problem 2.9.2 C}
\subsection{Solution}
由于生成的拟合多项式较为复杂，故只提供绘图。实际数据可以通过C.cpp运行生成。我们采用切比雪夫插值的零点来采样，通过牛顿插值法生成的函数如图所示.\\
\begin{figure}[htp]
    \centering
    \includegraphics[width=4cm]{picC}
    \caption{An image of a Assign}
    \label{fig:galaxy}
\end{figure}
可以看出，生成的曲线有点类似将B中的曲线横向“压扁”了。并且可以看出，拟合多项式的“宽震荡”现象明显有所好转，由于我们仍然采用均匀节点来采样并拟合，所以这种现象的原因应当是采样节点的增多。\\

\section{Problem 2.9.2 D}
原因同上一题，生成的多项式次数过高故在此不具体给出其形式.
\subsection{Problem a}
所绘制的曲线如图所示.\\
\begin{figure}[htp]
    \centering
    \includegraphics[width=4cm]{picD}
    \caption{An image of a Assign}
    \label{fig:galaxy}
\end{figure}
用拟合的多项式预测,当$t=10 s$时距离约为$741.013$.

\subsection{Problem b}
由拟合的多项式的导数得，当$x$约为$11.75$时，约有$p'(x)$为$98.383>81$，因此超速了.\\

\section{Problem 2.9.2 E}
\subsection{Problem a}
拟合曲线如图所示.\\
\begin{figure}[htp]
    \centering
    \includegraphics[width=4cm]{picE1}
    \caption{An image of a Assign}
    \label{fig:galaxy}
\end{figure}
可以看出，对于第一个样本生成的曲线在第零到四天甚至是负数，这显然不符合实际。注意到采样天数几乎是均匀的，所以这个谬误可以用龙格现象来解释.\\

\subsection{Problem b}
后十五天的曲线如图所示.\\
\begin{figure}[htp]
    \centering
    \includegraphics[width=4cm]{picE2}
    \caption{An image of a Assign}
    \label{fig:galaxy}
\end{figure}
可以看出牛顿插值法拟合的曲线都趋近于充分大，这显然非常荒谬。事实上直接看数据我们可以猜测样本$sp2$会趋于死亡。对此谬误我的解释是第一个原因是采样点太少导致拟合不充分，第二个原因是预测点距离采样点过远.\\

\end{document}
